Нужно решить в целых числах уравнение: 5x+2y = 81, где х - количество 5-центовых монет, у - количество 2-центовых монет.

1. 5х - число, кратное 5 , оно оканчивается на 5 или 0. Если оканчивается на 0, то оно четное, но 2у тоже четное, тогда 5х+2у - четное число и не может быть равно 81 (нечетному числу). Значит, 5х оканчивается на 5.

2. Сумма 5х+2у оканчивается на 1. Это может быть в случае, если 2у=6, или 2у=16, ...2у=76.

Вычислим для каждого такого случая х и у.   5х = 81-2у

2у=6     5х=81-6= 75        х=75:5=15      х=15,  у=3     Т.е.   15 монет 5 центовых и 3 монеты 2 центовых.

2у=16   5х=81-16=65    х=65:5=13         х=13   у=8

2у=26    5х=81-26=55                           х=11    у=13

2у=36    5х=45                                     х = 9   у=18

2у=46     5х=35                                    х=7     у=23

2у=56     5х=25                                     х=5     у=28  

2у=66     5х=15                                     х =3    у = 33

2у=76     5х= 5                                      х=1     у=38  

Получили 8 вариантов.